21/09/2019
La desviación estándar es una medida fundamental en estadística que describe la dispersión o variabilidad de un conjunto de datos. En términos sencillos, nos indica cuánto se alejan los valores individuales de la media (promedio) del conjunto. Una desviación estándar alta indica que los datos están más dispersos, mientras que una desviación estándar baja sugiere que los datos están más agrupados alrededor de la media.
Tipos de Desviación Estándar: Muestral y Poblacional
Es crucial entender que existen dos tipos de desviación estándar :
- Desviación Estándar Poblacional (σ): Se utiliza cuando se tienen datos de toda la población que se está estudiando. Es decir, se conoce el valor de cada elemento del grupo.
- Desviación Estándar Muestral (s): Se utiliza cuando se trabaja con una muestra, un subconjunto representativo de la población. Es la más común en la práctica, ya que en muchos casos es imposible o impráctico recopilar datos de toda la población.
¿Cómo saber si la desviación estándar es muestral o poblacional?
La clave para determinar qué tipo de desviación estándar usar radica en comprender si los datos representan la totalidad de la población o solo una parte de ella. Si se tienen datos de todos los elementos del grupo de interés, se utilizará la desviación estándar poblacional. Si los datos provienen de un subconjunto, se utilizará la desviación estándar muestral.
Fórmulas para el Cálculo de la Desviación Estándar
Desviación Estándar Poblacional (σ):
La fórmula para calcular la desviación estándar poblacional es la siguiente:
σ = √[ Σ(xi - μ)² / N ]
Donde:
- σ: Desviación estándar poblacional
- xi: Cada valor individual en la población
- μ: Media poblacional
- N: Tamaño de la población
- Σ: Sumatoria (suma de todos los valores)
Desviación Estándar Muestral (s):
La fórmula para calcular la desviación estándar muestral es:
s = √[ Σ(xi - x̄)² / (n - 1) ]
Donde:
- s: Desviación estándar muestral
- xi: Cada valor individual en la muestra
- x̄: Media muestral
- n: Tamaño de la muestra
- Σ: Sumatoria (suma de todos los valores)
Diferencia clave en las fórmulas: el factor de corrección (n-1)
Observarás que la fórmula de la desviación estándar muestral incluye un factor de corrección en el denominador (n-1). Este factor se utiliza para compensar el hecho de que la muestra es solo una estimación de la población. Al usar (n-1) en lugar de n, se obtiene una estimación más precisa de la desviación estándar poblacional a partir de los datos de la muestra.
Ejemplo de Cálculo de la Desviación Estándar
Supongamos que tenemos el siguiente conjunto de datos, que representa las puntuaciones de un examen de 5 estudiantes: 70, 80, 85, 90, 9
Cálculo de la Desviación Estándar Muestral (s):
Calcular la media muestral (x̄): (70 + 80 + 85 + 90 + 95) / 5 = 84
Calcular la diferencia entre cada valor y la media (xi - x̄), y elevar al cuadrado:
- (70 - 84)² = 196
- (80 - 84)² = 16
- (85 - 84)² = 1
- (90 - 84)² = 36
- (95 - 84)² = 121
Sumar los cuadrados de las diferencias (Σ(xi - x̄)²): 196 + 16 + 1 + 36 + 121 = 370
Dividir la suma por (n-1), donde n es el tamaño de la muestra (5-1 = 4): 370 / 4 = 95
Calcular la raíz cuadrada del resultado: √95 ≈ 62
Por lo tanto, la desviación estándar muestral (s) es aproximadamente 6Esto significa que, en promedio, las puntuaciones de los estudiantes se desvían aproximadamente 62 puntos de la media (84).
Aplicaciones de la Desviación Estándar
La desviación estándar tiene una amplia gama de aplicaciones en diversas disciplinas, incluyendo:
- Análisis financiero: Para evaluar el riesgo de una inversión.
- Control de calidad: Para monitorizar la variabilidad en la producción.
- Investigación científica: Para analizar la dispersión de los datos experimentales.
- Medicina: Para comprender la variabilidad en las respuestas a un tratamiento.
- Estudios de mercado: Para analizar la variabilidad en las preferencias de los consumidores.
La desviación estándar es una herramienta esencial para comprender la dispersión de los datos. Al comprender la diferencia entre la desviación estándar muestral y poblacional, y cómo calcularla, podemos obtener información valiosa sobre la variabilidad de los datos y tomar decisiones más informadas en diversos campos.
Tabla Comparativa: Desviación Estándar Muestral vs. Poblacional
| Característica | Desviación Estándar Muestral (s) | Desviación Estándar Poblacional (σ) |
|---|---|---|
| Datos utilizados | Muestra (subconjunto de la población) | Población completa |
| Símbolo | s | σ |
| Fórmula | √[ Σ(xi - x̄)² / (n - 1) ] | √[ Σ(xi - μ)² / N ] |
| Propósito | Estimar la desviación estándar de la población | Calcular la desviación estándar de la población |
Consultas Habituales sobre la Desviación Estándar:
- ¿Qué significa una desviación estándar alta o baja? Una desviación estándar alta indica mayor dispersión de los datos, mientras que una baja indica que los datos están más agrupados alrededor de la media.
- ¿Cómo se interpreta la desviación estándar en relación a la media? La desviación estándar nos dice, en promedio, cuánto se alejan los valores individuales de la media.
- ¿Por qué se usa (n-1) en la fórmula de la desviación estándar muestral? Se utiliza como factor de corrección para obtener una estimación más precisa de la desviación estándar poblacional a partir de la muestra.
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